绕多个障碍物的流动

一个稳态纳维-斯托克斯算例，既展示了 TensorMesh 的有限元机制，也同样突出了它的网格生成能力。脚本 examples/fluid/flow_obstacles/flow_obstacles.py 求解 \(\mathrm{Re} = 150\) 下穿过一个 \(3 \times 1\) 通道的不可压缩流动，通道内含有六个大小与位置各异的圆形障碍物。网格通过 MeshGen 借助 CSG（构造实体几何）以编程方式生成：从一个矩形出发，再减去六个圆盘。

问题

\[\rho\, (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \;=\; -\nabla p + \mu\, \Delta \mathbf{u} \quad \text{in } \Omega, \qquad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0,\]

其中通道 \((0, 3) \times (0, 1)\) 减去位于以下位置的六个圆盘

\[ \begin{align}\begin{aligned}(0.5, 0.5)\!:\,r\!=\!0.10, \quad (1.0, 0.3)\!:\,r\!=\!0.08, \quad (1.0, 0.7)\!:\,r\!=\!0.08,\\(1.5, 0.5)\!:\,r\!=\!0.12, \quad (2.0, 0.4)\!:\,r\!=\!0.07, \quad (2.0, 0.6)\!:\,r\!=\!0.07.\end{aligned}\end{align} \]

边界条件：

  • 入口（\(x = 0\)）：抛物型分布，\(u_x(y) = 4\,y\,(1 - y)\)，

  • 壁面（\(y = 0\)、\(y = 1\)）与障碍物表面：无滑移，

  • 出口（\(x = 3\)）：\(p = 0\)。

在 \(\mathrm{Re} = 150\) 时流动是稳态的（无脱落），每个障碍物的尾迹与下一个相互作用，解中呈现出靠得很近的圆柱之间特征性的狭窄射流。

通过 CSG 生成网格

这个脚本最有意思的部分是网格生成代码块——它简短、自成体系，并展示了 MeshGen 所暴露的 add_… / remove_… 风格的 CSG：

列表 17 examples/fluid/flow_obstacles/flow_obstacles.py（核心部分）
from tensormesh import MeshGen

gen = MeshGen(chara_length=1.0/n_grid)
gen.add_rectangle(0, 0, 3.0, 1.0)
for ox, oy, orad in [
    (0.5, 0.5, 0.10), (1.0, 0.3, 0.08), (1.0, 0.7, 0.08),
    (1.5, 0.5, 0.12), (2.0, 0.4, 0.07), (2.0, 0.6, 0.07),
]:
    gen.remove_circle(ox, oy, orad)
mesh = gen.gen().double()

在底层，MeshGen 将布尔运算与三角剖分交给 Gmsh 的 OpenCASCADE 后端处理，随后再按其内部单元排序转换回 Mesh。完整的 MeshGen API 参见 网格。

求解器

与 顶盖驱动方腔 完全相同——同样的自定义 NavierStokesAssembler、同样的 SUPG/PSPG 稳定化、同样的 Picard 线性化。真正的差别仅在于：

  • 边界掩码更为丰富（入口、壁面、障碍物表面、出口），

  • 入口速度非零（抛物型），因此 Condenser 在构造时其 dirichlet_value 包含了给定的入口分布，

  • 出口没有速度边界条件；只有压力被钉定为零。

is_inlet  = points[:, 0] < 1e-6
is_outlet = points[:, 0] > 3.0 - 1e-6
is_wall   = (points[:, 1] < 1e-6) | (points[:, 1] > 1.0 - 1e-6)
# …assemble u_mask / u_val accordingly, then Picard-iterate as in cavity…

输出

flow_obstacles.png 是最终图像：速度大小与压力等值线叠加在障碍物轮廓之上。图中可做的合理性检查包括：

  • \(x \approx 1.0\) 处上排两个障碍物之间的高速射流，

  • 位于 \((1.5, 0.5)\) 的最大障碍物后方的宽阔回流区，

  • 沿通道近乎均匀的压降。

绕 6 个随机圆形障碍物稳态流动的速度大小与压力

图 47 flow_obstacles.py 在 Re = 150 时的输出。左：速度大小——高速射流从障碍物对之间挤过，并在下游展宽为尾迹。右：压力——每个障碍物上游出现滞止区，尾迹中出现低压区，沿通道流向方向呈现近乎均匀的压降。

运行方式

cd examples/fluid/flow_obstacles
python flow_obstacles.py     # writes flow_obstacles.png

在默认网格分辨率下，Picard 循环大约需 20 次迭代收敛。

下一步