泊松方程¶

examples/poisson/ 中的三个脚本借助泊松问题展示了 TensorMesh 的主要特性：基础的二维求解、同一求解器的三维版本，以及在 L 形区域上的 h-自适应加密——该区域的凹角会产生梯度奇异性。

若需对众多源项进行批量右端项求解（即机器学习数据生成模式），请参见机器学习数据集——该脚本位于 examples/dataset/poisson/ 下，使所有批量右端项工作流集中于一处。

强形式为：

\[-\Delta u = f \quad \text{in } \Omega, \qquad u = 0 \text{ on } \partial\Omega,\]

对应的弱形式为

\[\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \,\mathrm{d}\Omega \;=\; \int_\Omega f\, v \,\mathrm{d}\Omega \quad \forall v \in H^1_0(\Omega).\]

下面每个示例都用 LaplaceElementAssembler 实现刚度，用 NodeAssembler 实现载荷，用 Condenser 处理齐次狄利克雷边界条件。真值源场来自 PoissonMultiFrequency，它生成一个随机截断的傅里叶级数，其解析解同样可用。

基础二维泊松——`poisson.py`¶

仓库中最短的端到端驱动脚本。完整流程仅需 25 行：

列表 3 examples/poisson/poisson.py¶

import torch
from tensormesh import (LaplaceElementAssembler, Mesh,
                        Condenser, NodeAssembler)
from tensormesh.dataset import PoissonMultiFrequency

device         = "cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu"
mesh           = Mesh.gen_rectangle(chara_length=0.02).to(device=device)
assembler      = LaplaceElementAssembler.from_mesh(mesh)
equation       = PoissonMultiFrequency(K=16)
boundary_value = torch.zeros(mesh.boundary_mask.shape).to(device=device)
condenser      = Condenser(mesh.boundary_mask, boundary_value)

f = equation.source_term(mesh.points, domain="rectangle")
K = assembler(mesh.points)

class FAssembler(NodeAssembler):
    def forward(self, v, f):
        return v * f

F_asm = FAssembler.from_mesh(mesh)
b     = F_asm(mesh.points, point_data={"f": f})

K_, b_       = condenser(K, b)
u_           = K_.solve(b_, verbose=True)
u            = condenser.recover(u_)
u_analytical = equation.solution(mesh.points)

mesh.plot({"f": f, "u_fem": u, "u_analytical": u_analytical},
          save_path="poisson.png")

有几处细节值得指出：

assembler(mesh.points) 返回一个由梯度双线性形式构建的 SparseMatrix。纯 Python 弱形式，无需自定义核。
FAssembler 通过名称将源项 f 传入被积函数（point_data={"f": f} 会成为 forward(v, f) 中的 f 关键字参数）。完整的参数分派约定参见形式。
Condenser 的简写 K_, b_ = condenser(K, b) 会施加狄利克雷边界掩码，并将给定值并入右端项。recover(...) 在求解后将边界值重新拼接回去。
K_.solve(b_) 继承自 torch-sla 的 SparseTensor；它会检查矩阵并自动分派到可用的最佳后端。传入 verbose=True 会打印该决策，例如：
```
[torch-sla] solve: n=2814, nnz=19300, dtype=float64, device=cuda,
            symmetric=True, spd=False, backend=cudss, method=ldlt
```
这里 torch-sla 在 CUDA 上检测到一个对称（但非对称正定 SPD）系统，并通过 cuDSS 以 \(LDL^{T}\) 分解进行求解。在 CPU 上，或未安装 cuDSS 时，它会回退到其他后端；backend= 字段总会告诉你实际运行的是哪个后端。

二维泊松——源项、有限元解和解析解 — 图 38 `poisson.py` 的输出：单位正方形上的源项 `f`（左）、有限元解 `u_fem`（中）和解析参考解 `u_analytical`（右）。在该分辨率下，两幅解的图在视觉上无法区分——这正是收敛网格所应有的表现。¶

三维扩展——`poisson_3d.py`¶

机制完全相同，只是换用了四面体剖分的立方体：

mesh = Mesh.gen_cube(chara_length=0.05, element_type="tet")
K    = LaplaceElementAssembler.from_mesh(mesh)()

同一个 LaplaceElementAssembler 之所以适用，是因为 ∇u·∇v 与维度无关——被积函数没有硬编码空间维度。输出写为 poisson_3d.vtu 以便在 ParaView 中打开；脚本还会生成一张半区域剖切的 PNG，供快速查看。

单位立方体上的三维泊松，半区域剖切图 — 图 39 `poisson_3d.py` 的输出：在 \(x=0.5\) 处剖切的半区域，展示单位立方体上的有限元解。在 `chara_length=0.05` 下，相对于解析傅里叶解的质量加权相对 \(L^2\) 误差为 \(\mathrm{rel\_L2} = 1.059\times10^{-2}\)。¶

运行示例¶

cd examples/poisson
python poisson.py                          # 2D, writes poisson.png
python poisson_3d.py                       # 3D, writes poisson_3d.vtu
python poisson_h_adaptivity.py             # writes poisson_h_adaptivity.png

接下来¶

形式——装配器基类，以及上面每个脚本所用的 forward 参数分派约定。
边界条件——通过 dirichlet_value 实现非齐次狄利克雷边界条件（用于 L 形自适应示例）。
机器学习数据集——对众多源项进行批量右端项求解，是基础二维求解在机器学习数据生成方向上的自然延伸。
扩散——相同的机制，再加上时间步进。

泊松方程¶

基础二维泊松——poisson.py¶

三维扩展——poisson_3d.py¶

L 形区域上的 h-自适应加密 — poisson_h_adaptivity.py¶

运行示例¶

接下来¶

基础二维泊松——`poisson.py`¶

三维扩展——`poisson_3d.py`¶

L 形区域上的 h-自适应加密 — `poisson_h_adaptivity.py`¶