模态分析

两个求解广义特征值问题而非受迫系统的示例——一个光子学，一个结构力学。两者遵循相同的流程：使用内置装配器装配两个（或三个）矩阵，将其交给位移-逆稀疏特征值求解器，并从频谱中读取物理频率/传播常数：

mesh -> assemble (K, M, ...) -> shift-invert eigsh -> modes + frequencies

每个示例均与闭合形式参考解进行验证（Marcatili 平板近似、欧拉-伯努利梁理论）。

矩形波导模式（光子学）

examples/wave/wave_guide_mode/waveguide_modes.py 从其二维截面计算矩形介质波导的导波模式。在弱导标量近似下，横向电场 \(E(x,y)\) 和传播常数 \(\beta\) 满足

\[\big(K - k_0^2 M_\varepsilon\big)\,E \;=\; -\beta^2\, M\,E,\]

由三个内置装配器构建——刚度矩阵（LaplaceElementAssembler）、质量矩阵（MassElementAssembler），以及折射率加权质量矩阵 \(M_\varepsilon = \int n^2\,\phi_i\phi_j\)（ScaledMassElementAssembler）。当模式的有效折射率 \(n_{\text{eff}} = \beta/k_0\) 介于包层与纤芯折射率之间时，该模式为导波模式；默认几何参数（\(18 \times 14\) µm 纤芯，\(n = 1.450/1.444\)，\(\lambda_0 = 1.55\) µm）支持七个导波模式，计算所得有效折射率与 Marcatili 可分离平板近似一致至 \(\sim 10^{-4}\)。

图 50 导波横向电场 \(E_{pq}\)（红/蓝表示场符号，纤芯轮廓勾勒），按沿 \(x\) 和 \(y\) 方向的瓣数标记——基模 \(E_{11}\)、偶极子对 \(E_{21}/E_{12}\)，以及高阶模式。

悬臂梁振动（结构力学）

examples/solid/beam_vibration_analysis/vibration_cylinder.py 对固支-自由钢圆柱（\(L = 1\) m，\(R = 25\) mm）进行经典三维线弹性自由振动分析：

\[K\,\phi = \omega^2 M\,\phi,\]

其中 \(K\) 来自 LinearElasticityElementAssembler，一致向量质量矩阵由标量质量矩阵构建（\(M_{\text{vec}} = \rho\, M_{\text{scalar}} \otimes I_3\)）。固支端通过常规的 Condenser 掩码去除。在模态分析之上，模态频响函数——横向尖端力作用下含 1% 模态阻尼的尖端响应——展示了共振/反共振结构。

第一阶弯曲频率计算结果为 37.2 Hz，而欧拉-伯努利理论值为 36.2 Hz（P1 四面体单元偏高 3%，随网格加密收敛）；由于截面为圆形，每阶弯曲模式均以近简并模态对形式出现（两个正交弯曲平面），随后为第一阶扭转和轴向模式。

图 51 变形模态振型（位移幅值，已 exaggerate）：弯曲模态对、第一阶扭转和第一阶轴向模式。

图 52 尖端动态放大系数 \(|u_x|/u_{\text{static}}\)——第一共振频率以下平坦为 1，在各弯曲模态处达到峰值，其间落入反共振谷。

运行示例

cd examples/wave/wave_guide_mode && python waveguide_modes.py
cd examples/solid/beam_vibration_analysis && python vibration_cylinder.py

两者均提供 run_demo(...) 接口以及几何/模态数/网格尺寸参数（--help 列出全部参数）。特征值求解通过 SciPy 的位移-逆 Lanczos 方法在装配好的稀疏矩阵上运行——仅为后处理，装配核心保持 torch 不变。

下一步

• 声子晶体（布洛赫-弗洛凯） —— 含布洛赫-弗洛凯相位边界条件的特征值问题（能带结构）。

• 开放域波动（PML 与端口） —— 受迫对应问题：端口与完全匹配层。

• 固体力学 —— 静力学与非线性固体力学进阶。